Question

双曲线E经过点P（-4，6），对称轴为坐标轴，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率e=2．
（Ⅰ）求双曲线E的方程；
（Ⅱ）求∠F₁PF₂的角平分线所在直线的方程．

Answer 1

分析：（1）根据题意先设双曲线方程，利用双曲线E经过点P（-4，6），离心率e=2，可求双曲线E的方程；
（2）利用角平分线的性质可求∠F₁AF₂的角平分线交x轴点M的坐标，从而可求直线方程．

解答：解：依题意，可设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0），c²=a²+b²（c＞0）
（Ⅰ）∵双曲线E经过点P（-4，6），离心率e=2，
∴

16

a2

-

36

b2

=1，

a2+b2

a2

=4
∴a²=4，b²=12
∴E的方程为

x2

4

-

y2

12

=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，c=4，设F₁（-4，0），F₂（4，0），
∵P（-4，6），∴PF₁⊥x轴
设∠F₁PF₂的角平分线交x轴于点M（m，0）
由角平分线的性质可知

|F1M|

|MF2|

=

|PF1|

|PF2|

，即

m+4

4-m

=

10

6

，∴m=1
∴M（1，0）
故所求直线方程为y=

6-0

-4-1

（x-1），即6x+5y-6=0．

点评：本题考查双曲线的简单性质，考查直线方程的求解，解题的关键是待定系数法，正确理解角平分线的性质．