Question

已知对任意平面向量=（x，y），我们把绕其起点A沿逆时针方向旋转θ角得到向量=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），称为逆旋θ角到．
（1）把向量=（2，-1）逆旋角到，试求向量．
（2）设平面内函数y=f （x）图象上的每一点M，把逆旋角到后（O为坐标原点），得到的N点的轨迹是曲线x²-y²=3，当函数F （x）=λ f （x）-|x-1|+2有三个不同的零点时，求实数λ的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意，=（2cos+sin，2sin-cos）=（）；
（2）设M（x，y），N（x₀，y₀），则x₀²-y₀²=3
∵逆旋角到，∴（xcos-ysin，xsin+ycos）=（x₀，y₀），
∴x₀=，y₀=，
∵x₀²-y₀²=3，∴可得y=-，即f（x）=-
函数F （x）=λ f （x）-|x-1|+2有三个不同的零点，等价于=x|x-1|-2x（x≠0）有三个不同实数解．
设g（x）=x|x-1|-2x=，图象如图
∵=x|x-1|-2x（x≠0）有三个不同实数解
∴，且≠0
∴，且λ≠0．
分析：（1）利用新定义，结合向量=（2，-1）逆旋角到，可求向量；
（2）由题意函数F （x）=λ f （x）-|x-1|+2有三个不同的零点，等价于=x|x-1|-2x（x≠0）有三个不同实数解，结合函数的图象可得结论．
点评：本题考查新定义，考查数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题．