解:(I)由三视图知PC⊥面ABCD,
ABCD为正方形,
且PC=2,AB=BC=1(2分)
∴V
P-ABCD=
•S
ABCD×PC=
•1
2•2=
(1分)
(II)∵PC⊥面ABCD,BD?面ABCD
∴PC⊥BD …(1分)
而BD⊥AC,AC∩AE=A,
∴BD⊥面ACE,…(1分)
而AE?面ACE
∴BD⊥AE (1分)
(III)法一:连接AC,交BD于O.由对称性,二面角D-AE-B是二面角O-AE-B的2倍,设θ为二面角O-AE-B的平面角.
注意到B在面ACE上的射影为O
S△
AOE=
S△
ACE=
×
×
=
.
S△
ABE=
AB•BE=
•1•
=
,(2分)
∴cosθ=
=
∴θ=60°
∴二面角D-AE-B是120°(2分)
法二:以C为坐标原点,CD所在直线为x轴建立空间直角坐标系
则D(1,0,0),A(1,1,0),B(0,1,0),E(0,0,1),
从而
=(-1,0,1),
=(0,1,0),
=(1,0,0),
=(0,-1,1)(2分)
设平面ADE和平面ABE的法向量分别为
=(x
1,y
1,z
1),
=(x
2,y
2,z
2)
则-x
1+z
1=0,y
1=0
x
2=0,-y
2+z
2=0
令z
1=1,z
2=-1,则
=( (1,0,1),
=(0,-1,-1)(2分)
设二面角D-AE-B的平面角为θ,则|cosθ|=
=
=
.
二面角D-AE-B为钝二面角.∴二面角D-AE-B的大小为
.(2分)
分析:(I)由三视图知PC⊥面ABCD,即高PC=2,且底面为正方形,边长为1,利用锥体体积公式计算即可.
(II)由于PC⊥BD,且BD⊥AC,所以不论点E在何位置,都有BD⊥面ACE,从而都有BD⊥AE.
(III)法一,连接AC,交BD于O.由对称性,二面角D-AE-B是二面角O-AE-B的2倍,利用射影面积法求出二面角O-AE-B的平面角后,问题获解
法二,以C为坐标原点,CD所在直线为x轴建立空间直角坐标系.求出平面ADE和平面ABE的法向量,利用向量的方法求出二面角D-AE-B的大小.
点评:本题考查几何体的三视图及直观图,线面垂直关系的判定,二面角的大小度量.考查考查了空间想象能力、计算能力,分析解决问题能力.空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法.