Question

已知O为△ABC的外心，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．
（1）若

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，

OH

=

h

，试用

a

、

b

、

c

表示

h

；
（2）证明：

AH

⊥

BC

；
（3）若△ABC的∠A=60°，∠B=45°，外接圆的半径为R，用R表示|

h

|．

Answer 1

分析：（1）利用向量加法的平行四边形法则，用已知向量表示向量

c

（2）要证明向量

AH

⊥

BC

，只要证明

AH

•

BC

=0，利用O是三角形的外心，可得|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|，然后用向量

a

，

b

，

c

表示

h

（3）利用已知的角，结合向量的数量积把已知的

h

=

a

+

b

+

c

两边平方整理可得外接圆半径

解答：解：（1）由平行四边形法则可得：

OH

=

OC

+

OD

=

OC

+

OA

+

OB

即

h

=

a

+

b

+

c

（2）∵O是△ABC的外心，
∴|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|，
即|

a

|=|

b

|=|

c

|，而

AH

=

OH

-

OA

=

h

-

a

=

b

+

c

，

CB

=

OB

-

OC

=

b

-

c

∴

AH

•

CB

=(

b

+

c)

•(

b

-

c

)=|

b

|-|

c

|=0，∴

AH

⊥

CB

（3）在△ABC中，O是外心A=60°，B=45°
∴∠BOC=120°，∠AOC=90°
于是∠AOB=150°|

h

|²=（

a

+

b

+

c

)2=

a

2+

b

2+

c

2+2

a

•

b

+2

b

•

c

+2

c

•

a

=3R2+2|

a

|•|

b

|•cos150°+2|

a

|•|

c

|•cos90 °+2|

b

|•|

c

|•cos120°
=（2-

3

）R²
∴|

h

|=

6 - 2

2

R

点评：本题主要考查向量的加法的平行四边形法则，两向量垂直的证明方法及向量数量积的定义，综合运用向量的知识，解决问题的关键是熟练掌握向量的基本知识．