Question

【题目】已知数列的前项和为，满足，且，正项数列满足，其前7项和为42．

（1）求数列和的通项公式；

（2）令，数列的前项和为，若对任意正整数，都有，求实数的取值范围；

（3）将数列的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：，求这个新数列的前项和．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），

【解析】

试题分析：（1）由已知得数列是等差数列，从而易得的通项公式，求得，利用求得，再求得可得数列通项，利用已知可得，又得是等差数列，由等差数列的基本量法可求得；（2）代入得，变形后得，从而易求得和，于是有，只要求得的最大值即可得的最小值，从而得的范围，研究的单调性可得；（3）根据新数列的构造方法，在求新数列的前项和时，对分类：，和()三类，可求解．

试题解析：（1）∵，∴数列是首项为1，公差为的等差数列，

∴，即，

∴，

又，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

∵，∴，又，∴，∴数列是等差数列，且公差为，设的前项和为，

∵，∴，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）由（1）知，

∴

，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

设，则，

∴数列为递增数列，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

∴，

∵对任意正整数，都有恒成立，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

（3）数列的前项和，数列的前项和，

①当时，；

②当时，，

特别地，当时，也符合上式；

③当时，．

综上：，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分