【题目】已知f(x)=xlnx,g(x)=﹣x2+ax﹣3.
(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)证明:对一切x∈(0,+∞),都有lnx> ﹣ 成立.
【答案】
(1)解:f(x)=xlnx,
∴f'(x)=lnx+1
当x∈(0, ),f′(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈( ,+∞),f′(x)>0,f(x)单调递增
①0<t< 时,f(x)min=f( )=﹣ ;
② ≤t时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt;
∴f(x)min=
(2)解:2f(x)≥g(x)恒成立,
∴a≤x+ +2lnx恒成立,
令h(x)=x+2lnx+ ,
则h'(x)=1+ ﹣ = ,
由h'(x)=0,得x1=﹣3,x2=1,
x∈(0,1)时,h'(x)<0;
x∈(1,+∞)时,h'(x)>0.
∴x=1时,h(x)min=1+0+3=4.
∴a≤4.
∴实数a的取值范围是(﹣∞,4]
(3)证明:对一切x∈(0,+∞),都有lnx> ﹣ 成立,
∴xlnx> ﹣ ,
∴f(x)> ﹣ ,
由(1)可知f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))的最小值是﹣ ,当且仅当x= 时取到.
设m(x)= ﹣ ,(x∈(0,+∞)),则m′(x)= ,
∵x∈(0,1)时,m′(x)>0,
x∈(1,+∞)时,m′(x)<0,
∴m(x)max=m(1)=﹣ ,
从而对一切x∈(0,+∞),lnx> ﹣ 成立
【解析】(1)求出导函数f'(x)=lnx+1,对x分别讨论,得出导函数的正负区间,根据函数单调性分别讨论t的范围,求出函数的最小值;(2)不等式整理为a≤x+ +2lnx恒成立,只需求出右式的最小值即可,构造函数h(x)=x+2lnx+ ,利用求导的方法得出函数的最小值;(3)根据不等式的形式可得f(x)> ﹣ ,只需使f(x)的最小值大于右式的最大值即可,构造函数m(x)= ﹣ ,利用求导得出函数的最大值.
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【题目】某校高一(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损,可见部分如下图:
求分数在的频率及全班人数;
求分数在之间的频数,并计算频率分布直方图中间矩形的高;
若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,求在抽取的试卷中,至少有一份分数在之间的概率.
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【题目】判断下列各组中两个函数是否为同一函数.
(1)f(x)=x2+2x﹣1,g(x)=t2+2t﹣1;
(2)f(x)= , g(x)=x+1;
(3)f(x)= , g(x)=;
(4)f(x)=|3﹣x|+1,g(x)= .
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【题目】已知函数f(x)=x2lnx﹣a(x2﹣1),a∈R,若当x≥1时,f(x)≥0恒成立,则a的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣1]
B.(﹣∞,0]
C.(﹣∞,1]
D.
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【题目】在空间直角坐标系中,已知A(3,0,1)和B(1,0,-3),试问
(1)在y轴上是否存在点M,满足 ?
(2)在y轴上是否存在点M,使△MAB为等边三角形?若存在,试求出点M坐标.
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【题目】某海滨游乐场出租快艇的收费办法如下:不超过十分钟收费80元;超过十分钟,超过部分按每分钟10元收费(对于其中不足一分钟的部分,若小于0.5分钟则不收费,若大于或等于0.5分钟则按一分钟收费),小茗同学为该游乐场设计了一款收费软件,程序框图如图所示,其中x(分钟)为航行时间,y(元)为所收费用,用[x]表示不大于x的最大整数,则图中①处应填( )
A.y=10[x]
B.y=10[x]﹣20
C.y=10[x﹣ ]﹣20
D.y=10[x+ ]﹣20
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【题目】某险种的基本保费为(单位:元),继续购买该险峰种的投保人称为续保人,续保人的本年度的保费与其上处度的出险次数的关联如下:
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
(1) 求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
(2) 若一续保人本年度的保费高于基本保费用,求其保费比基本保费高出60%的概率;
(3) 求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
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【题目】已知椭圆: ()过点,且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若动点在直线上,过作直线交椭圆于两点,且为线段中点,再过作直线.求直线是否恒过定点,如果是则求出该定点的坐标,不是请说明理由。
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