(本小题满分l4分)
已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4;
(Ⅲ)若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.
解: (I)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0,
即
解得a=1,b=0.
∴f(x)=x3-3x.
(II)∵f(x)=x3-3x,∴f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
当-1<x<1时,f′(x)<0,故f(x)在区间[-1,1]上为减函数,
fmax(x)=f(-1)=2,fmin(x)=f(1)=-2
∵对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,
都有|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x) -fmin(x)|
|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=2-(-2)=4
(III)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
∵曲线方程为y=x3-3x,∴点A(1,m)不在曲线上.
设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足
因,故切线的斜率为
,
整理得.
∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线,
∴关于x0方程=0有三个实根.
设g(x0)= ,则g′(x0)=6,
由g′ (x0)=0,得x0=0或x0=1.
∴g(x0)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减.
∴函数g(x0)= 的极值点为x0=0,x0=1
∴关于x0方程=0有三个实根的充要条件是
,解得-3<m<-2.
故所求的实数a的取值范围是-3<m<-2.
【解析】略
科目:高中数学 来源:2011届广东省湛江一中高三上学期10月月考理科数学卷 题型:解答题
(本小题满分l4分)已知数列的前项和为,且,()
(1) 求数列的通项公式;
(2) 设,证明:.
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年广东省高三上学期10月月考理科数学卷 题型:解答题
(本小题满分l4分)如图,边长为的正方体中,是的中点,在线段上,且.
(1)求异面直线与所成角的余弦值;
(2)证明:面;
(3)求点到面的距离.
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年广东省梅州市高三上学期期末考试数学理卷 题型:解答题
(本小题满分l4分)
如图4,在四棱锥中,底面是矩形,
平面,,,于点.
(1) 求证:;
(2) 求直线与平面所成的角的余弦值.
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科目:高中数学 来源:2014届广东省高一上学期期末考试数学 题型:解答题
.(本小题满分l4分)已知函数有唯一的零点.
(1)求的表达式;
(2)若在区间上具有单调性,求实数的取值范围;
(3)若在区间上的最大值为4,求的值。
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