已知的顶点
在椭圆
上,
在直线
上,且
.
(1)当边通过坐标原点
时,求
的长及
的面积;
(2)当,且斜边
的长最大时,求
所在直线的方程.
(1),
;(2)
。
解析试题分析:(1)由于直线过原点,故直线方程是已知的,可直接求出
两点的坐标,求出线段
的长,及
边上的高和面积;(2)设直线
方程为
,把方程
与椭圆方程联立,消去
,得出关于
的二次方程,
两点的横坐标
就是这个方程的两解,故必须满足
,而线段
的长
,线段
的长
等于平行线
与
间的距离,再利用勾股定理求出
,这时
一定是
的函数,利用函数知识就可以求得结论。
试题解析:(1)因为,且
过点
,所以
所在直线方程为
。
设两点的坐标分别为
,
由 得
。
∴。
又因为边上的高
等于原点到直线
的距离,
所以。
(2)设直线的方程为
,
由 得
。
因为在椭圆上,所以
。
设两点的坐标分别为
,
则,
所以。
又因为的长等于点
到直线
的距离,即
,
所以。
所以当时,
边最长(这时
),
此时所在直线方程为
。
考点:直线和椭圆相交,弦长问题。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
给定椭圆,称圆心在坐标原点O,半径为
的圆是椭圆C的“伴随圆”,已知椭圆C的两个焦点分别是
.
(1)若椭圆C上一动点满足
,求椭圆C及其“伴随圆”的方程;
(2)在(1)的条件下,过点作直线l与椭圆C只有一个交点,且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为
,求P点的坐标;
(3)已知,是否存在a,b,使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点
的直线的最短距离
.若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆
的左、右焦点分别是
、
,
是椭圆右准线上的一点,线段
的垂直平分线过点
.又直线
:
按向量
平移后的直线是
,直线
:
按向量
平移后的直线是
(其中
)。
(1) 求椭圆的离心率的取值范围。
(2)当离心率最小且
时,求椭圆的方程。
(3)若直线与
相交于(2)中所求得的椭圆内的一点
,且
与这个椭圆交于
、
两点,
与这个椭圆交于
、
两点。求四边形ABCD面积
的取值范围。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(1)已知定点、
,动点N满足
(O为坐标原点),
,
,
,求点P的轨迹方程.
(2)如图,已知椭圆的上、下顶点分别为
,点
在椭圆上,且异于点
,直线
与直线
分别交于点
,
(ⅰ)设直线的斜率分别为
、
,求证:
为定值;
(ⅱ)当点运动时,以
为直径的圆是否经过定点?请证明你的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线上有一点
,到焦点
的距离为
.
(Ⅰ)求及
的值.
(Ⅱ)如图,设直线与抛物线交于两点
,且
,过弦
的中点
作垂直于
轴的直线与抛物线交于点
,连接
.试判断
的面积是否为定值?若是,求出定值;否则,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆
经过点
,椭圆的离心率
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两直线与椭圆
分别交于相异两点
、
.若
的平分线与
轴平行, 试探究直线
的斜率是否为定值?若是, 请给予证明;若不是, 请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点D,E,求的最小值.
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