Question

【题目】若抛物线的顶点是双曲线x2﹣y2=1的中心，焦点是双曲线的右顶点
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线l过点C（2，1）交抛物线于M，N两点，是否存在直线l，使得C恰为弦MN的中点？若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由x2﹣y2=1，可得a2=b2=1，

则双曲线的右顶点为（1，0），

即抛物线的焦点坐标为（1，0），则 ，p=2．

∴抛物线方程为y2=4x；

（2）解：假设存在直线l，使得C恰为弦MN的中点，

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则 ，

两式作差得： ，

即 ．

∴直线l的斜率为2．

此时l的方程为y﹣1=2（x﹣2），即为2x﹣y﹣3=0．

联立直线方程与双曲线方程后判别式大于0，

∴满足条件的直线方程为2x﹣y﹣3=0

【解析】（1）由双曲线方程求得其右顶点坐标，得到抛物线的焦点坐标，从而求得抛物线的方程；（2）假设存在直线l，使得C恰为弦MN的中点，设出M，N的坐标，利用点差法求出l的斜率，求出直线方程后和双曲线联立后由判别式小于0说明直线不存在．