Question

【题目】已知点F1（﹣1，0），F2（1，0），动点M到点F2的距离是 ，线段MF1的中垂线交线段MF2于点P． （Ⅰ）当点M变化时，求动点P的轨迹G的方程；
（Ⅱ）过点F2且不与x轴重合的直线L与曲线G相交于A，B两点，过点B作x轴的平行线与直线x=2相交于点C，则直线AC是否恒过定点，若是请求出该定点，若不是请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵P在线段MF1的中垂线上，∴PM=PF1 ， 又P在线段MF2上，∴PM+PF2=MF2=2 ，
∴PF1+PF2=2 ，而F1F2=2，
∴动点P的轨迹G是以F1 ， F2为焦点的椭圆，
设椭圆方程为 ，则2a=2 ，c=1，∴a= ，b=1，
∴动点P的轨迹方程为 ．
（Ⅱ）①当l的斜率不存在时，不妨取 ， ，
∴C（2，﹣ ），直线AC的方程为 x+y﹣ =0，
此时易知AC过点 ．
②当l的斜率存在时，设l的方程为：y=k（x﹣1）
联立方程组 ，消去y得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
设A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），则C（2，y2），且x1+x2= ， ，
直线AC方程为 ，
∴ = = = = ．
当 时，y=0；
综上可知，直线AC恒过定点 ．
【解析】（I）由中垂线性质可得PM+PF2=MF2=2 ，故而P点轨迹为F1 ， F2为焦点的椭圆，利用定义求出a，b即可得出方程；（II）讨论直线l的斜率，联立方程组，利用根与系数的关系求出直线AC的方程，根据方程判断即可．