Question

已知向量

m

=(2cosα ， 2sinα)，

n

=(3cosβ ， 3sinβ)，若

m

与

n

的夹角为60°，则直线 xcosα-ysinα+

1

2

=0与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=

1

2

的位置关系是（　　）

• A、相交但不过圆心
• B、相交过圆心
• C、相切
• D、相离

Answer 1

分析：由已知中直线 xcosα-ysinα+

1

2

=0与圆 (x-cosβ)2+(y+sinβ)2=

1

2

的方程，我们易得到圆心到直线距离d的表达式，再由向量

a

=（2cosα，2sinα），

b

=（3cosβ，3sinβ），若向量

a

与

b

的夹角为60°，我们可以计算出d值，与圆半径比较，即可得到答案．

解答：解：∵圆的方程为 (x-cosβ)2+(y+sinβ)2=

1

2

∴圆心坐标为（cosβ，-sinβ），半径为

2

2

则圆心到直线 xcosα-ysinα+

1

2

=0距离d=|cosαcosβ+sinαsinβ+

1

2

|=|cos（α-β）+

1

2

|
又∵

a

=（2cosα，2sinα），

b

=（3cosβ，3sinβ），向量

a

与

b

的夹角为60°，
则2×3×cos60°=6cosαcosβ+6sinαsinβ
即cosαcosβ+sinαsinβ=

1

2

，
∴d=|

1

2

+

1

2

|=1＞

2

2

，
故选D．

点评：此题是个中档题．本题考查的知识点是平面微量的数量积运算，及直线与圆的位置关系，若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则：①当d＜r时，圆与直线相交；②当d=r时，圆与直线相切；③当d＞r时，圆与直线相离．