Question

10．如图，四边形ABCD中（图1），E是BC的中点，DB=2，DC=1，BC=$\sqrt{5}$，AB=AD=$\sqrt{2}$，将（图1）沿直线BD折起，使二面角A-BD-C成锐二面角且三棱锥A-BDC的体积为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．（如图2）
（1）求证：平面ABC⊥平面BDC；
（2）求直线AE与平面ADC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取BD中点M，连接AM，ME，由已知得BD⊥AE，AM=1，ME=$\frac{1}{2}$，由三棱锥A-BDC体积为$\frac{\sqrt{3}}{6}$，得AE⊥平面BDC，由此能证明平面ABC⊥平面BDC．
（2）以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系M-xyz，利用向量法能求出直线AE与平面ADC所成角的正弦值．

解答 （1）证明：如图取BD中点M，连接AM，ME．
∵AB=AD=$\sqrt{2}$，∴AM⊥BD，
∵DB=2，DC=1，BC=$\sqrt{5}$，∴DB²+DC²=BC²，
∴△BCD是BC为斜边的直角三角形，BD⊥DC，
∵E是BC的中点，∴ME为△BCD的中位线，∴ME=$\frac{1}{2}$，
∵AM⊥BD，ME⊥BD且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线，
∴BD⊥平面AEM，∵AE?平面AEM，∴BD⊥AE，
∵AB=AD=$\sqrt{2}$，DB=2，
∴△ABD为等腰直角三角形，∴AM=$\frac{1}{2}$BD=1，
∵${S}_{△BDC}=\frac{1}{2}×BD×DC=\frac{1}{2}×2×1=1$，
二面角A-BD-C成锐二面角且三棱锥A-BDC的体积为$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
设A到到平面BDC的距离为h，
∴$\frac{1}{3}×{S}_{△BDC}×h$=$\frac{1}{3}h=\frac{\sqrt{3}}{6}$，解得h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴h²=AM²-ME²，
∴h=AE，∴AE⊥平面BDC，
∵AE?平面ABC，∴平面ABC⊥平面BDC．
（2）解：如图，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系M-xyz，
则由（1）及已知条件可知B（1，0，0），E（0，$\frac{1}{2}$，0），
A（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），D（-1，0，0），C（-1，1，0），
$\overrightarrow{DA}$=（1，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设平面ADC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=x+\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=y=0}\end{array}\right.$，
取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，0，-2$），
设直线AE与平面ADC所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{7}•\frac{\sqrt{3}}{2}}$|=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴直线AE与平面ADC所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题主要考察线面垂直的证明以及线面角的正弦值求法．一般在证明线面垂直时，先转化为证明线线垂直．进而得到线面垂直．