Question

根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为：x₁，x₂，…，x_n，…，x₂₀₀₈；y₁，y₂，…，y_n，…，y₂₀₀₈．
（1）①写出x₁，x₂，x₃，x₄，②求数列{x_n}的通项公式x_n；
（2）写出y₁，y₂，y₃，y₄，由此猜想出数列{y_n}的一个通项公式y_n，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）由程序框图可知：
x_n+1=x_n+2…（1分）
x₁=1，x₂=3，x₃=5，x₄=7…（4分）
∴{x_n}是首项为x₁=1公差为2的等差数列
∴x_n=1+（n-1）2=2n-1
即{x_n}的通项公式为x_n=2n-1…（7分）
（2）由程序框图可知y_n+1=3y_n+2…（8分）
∵y₁=2，∴y₂=8，y₃=26，y₄=80…（11分）
猜想y_n=3ⁿ-1，以下为证明…（12分）…
∵y_n+1=3y_n+2，∴y_n+1+1=3（y_n+1），
∴{y_n+1}是首项为y₁+1=3，公比为3
的等比数列，∴y_n+1=3ⁿ，∴y_n=3ⁿ-1．…（14分）
分析：（1）由由程序框图可知x_n+1=x_n+2，x₁=1，代入递推公式可得x₁，x₂，x₃，x₄，的值，进而根据等差数列的性质可得{x_n}是首项为x₁=1公差为2的等差数列，进而得到其通项公式；
（2）由程序框图可知y_n+1=3y_n+2，y₁=2，代入递推公式可得y₁，y₂，y₃，y₄，的值，进而猜想出数列{y_n}的一个通项公式y_n，理由综合法，可证明结论．
点评：本题考查的知识点是循环结构，等差数列的通项公式，等差数列的通项公式，等差关系的确定，等比关系的确定，正确理解流程图所表示的含义，分析出数列{x_n}与数列{y_n}的递推公式，即可得到答案．