【题目】函数, ().
(Ⅰ)若,设,试证明存在唯一零点,并求的最大值;
(Ⅱ)若关于的不等式的解集中有且只有两个整数,求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)先求函数导数,得函数单调递减,则零点至多一个;再根据零点存在定理说明至少一个零点,两者结合得结论,最后根据函数单调性求最值(2)先变量分离得,再利用导数研究函数单调性,结合图像可得有且只有两个整数的条件,即为实数的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)证明:由题知,
于是,
令,则(),
∴在上单调递减.
又, ,
所以存在,使得,
综上存在唯一零点.
当, ,于是, 在单调递增;
当, ,于是, 在单调递减.
故,
又, , ,
故.
(Ⅱ)
令,则,
令,则在上单调递增.
又, ,
∴存在,使得.
∴当, ,即, 在单调递减;
当, ,即 , 在单调递增.
∵, , ,
且当时, ,
又, , ,
故要使不等式式解集中有且只有两个整数, 的取值范围应为: .
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【题目】已知函数, , ,
(1)求证:函数在点处的切线恒过定点,并求出定点的坐标;
(2)若在区间上恒成立,求的取值范围;
(3)当时,求证:在区间上,满足恒成立的函数有无穷多个.(记)
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【题目】设f(x)是定义在R上的函数,对任意实数m,n,都有f(m)f(n)=f(m+n),且当x<0时,0<f(x)<1.
(1)证明:①f(0)=1;②当x>0时,f(x)>1;③f(x)是R上的增函数;
(2)设a∈R,试解关于x的不等式f(x2﹣3ax+1)f(﹣3x+6a+1)≤1.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为(, 为参数).以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)当时,求曲线上的点到直线的距离的最大值;
(Ⅱ)若曲线上的所有点都在直线的下方,求实数的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)= ,若方程f(x)=a有四个不同的解x1 , x2 , x3 , x4 , 且x1<x2<x3<x4 , 则x3(x1+x2)+ 的取值范围是( )
A.(﹣1,+∞)
B.(﹣1,1]
C.(﹣∞,1)
D.[﹣1,1)
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【题目】已知函数f(x)=(2﹣a)(x﹣1)﹣2lnx,g(x)= (a∈R,e为自然对数的底数)
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在 上无零点,求a的最小值;
(Ⅲ)若对任意给定的x0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x0)成立,求a的取值范围.
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