Question

【题目】若函数对任意的，均有，则称函数具有性质.

（1）判断下面两个函数是否具有性质，并证明：①（）；②；

（2）若函数具有性质，且（，），

①求证：对任意，有；

②是否对任意，均有？若有，给出证明，若没有，给出反例.

Answer 1

【答案】（1）①具有，②不具有，（2）①见解析②不成立

【解析】

（1）①根据已知中函数的解析式，结合指数的运算性质，计算出f（x﹣1）+f（x+1）﹣2f（x）的表达式，进而根据基本不等式，判断其符号即可得到结论；②由y＝x3，举出当x＝﹣1时，不满足f（x﹣1）+f（x+1）≥2f（x），即可得到结论；

（2）①由于本题是任意性的证明，从下面证明比较困难，故可以采用反证法进行证明，即假设f（i）为f（1），f（2），…，f（n﹣1）中第一个大于0的值，由此推理得到矛盾，进而假设不成立，原命题为真；

②由（2）①中的结论，我们可以举出反例，如证明对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0不成立．

（1）①函数f（x）＝ax（a＞1）具有性质P．

，

因为a＞1，，

即f（x﹣1）+f（x+1）＞2f（x），

此函数为具有性质P．

②函数f（x）＝x3不具有性质P．

例如，当x＝﹣1时，f（x﹣1）+f（x+1）＝f（﹣2）+f（0）＝﹣8，2f（x）＝﹣2，

所以，f（﹣2）+f（0）＜f（﹣1），

此函数不具有性质P．

（2）①假设f（i）为f（1），f（2），…，f（n﹣1）中第一个大于0的值，

则f（i）﹣f（i﹣1）＞0，

因为函数f（x）具有性质P，

所以，对于任意n∈N*，均有f（n+1）﹣f（n）≥f（n）﹣f（n﹣1），

所以f（n）﹣f（n﹣1）≥f（n﹣1）﹣f（n﹣2）≥…≥f（i）﹣f（i﹣1）＞0，

所以f（n）＝[f（n）﹣f（n﹣1）]+…+[f（i+1）﹣f（i）]+f（i）＞0，

与f（n）＝0矛盾，

所以，对任意的i∈{1，2，3，…，n﹣1}有f（i）≤0．

②不成立．

例如

证明：当x为有理数时，x﹣1，x+1均为有理数，f（x﹣1）+f（x+1）﹣2f（x）＝（x﹣1）2+（x+1）2﹣2x2﹣n（x﹣1+x+1﹣2x）＝2，

当x为无理数时，x﹣1，x+1均为无理数，f（x﹣1）+f（x+1）﹣2f（x）＝（x﹣1）2+（x+1）2﹣2x2＝2

所以，函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x﹣1）+f（x+1）≥2f（x），

即函数f（x）具有性质P．

而当x∈[0，n]（n＞2）且当x为无理数时，f（x）＞0．

所以，在①的条件下，“对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0”不成立．