Question

二次函数f(x)＝ax²＋bx＋1(a＞0)，设f(x)＝x的两个实根为x₁，x₂，

(1)如果b＝2且|x₂－x₁|＝2，求a的值；

(2)如果x₁＜2＜x₂＜4，设函数f(x)的对称轴为x＝x₀，求证：x₀＞－1.

Answer 1

(1)∵b＝2，

∴f(x)＝ax²＋2x＋1，方程f(x)＝x可化为：

ax²＋x＋1＝0，由方程的根与系数的关系得

x₁＋x₂＝－，x₁·x₂＝，

∵|x₂－x₁|＝2，∴(x₂－x₁)²＝4，

∴(x₂＋x₁)²－4x₁x₂＝4，即－＝4，

解上式得：a＝，又∵Δ＝1－4a≥0且a＞0，

∴a＝.

(2)∵ax²＋(b－1)x＋1＝0(a＞0)的两根满足

x₁＜2＜x₂＜4，设g(x)＝ax²＋(b－1)x＋1，

又a＞0，

∴即，

亦即.

①×(－3)＋②得：2a－b＞0，又∵函数f(x)的对称轴为x＝x₀，

∴x₀＝－＞－1.