Question

13．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$（x＞0）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若m＞n＞0，讨论mⁿ与n^m的大小关系并给出证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；（Ⅱ）结合函数的单调性，通过讨论m，n的范围证出即可．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．$f'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，
令f′（x）=0，得x=e，
列表如下：

x	（0，e）	e	（e，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	极大	↘

∴f（x）的单调增区间是（0，e），单调减区间（e，+∞），
$f{（x）_{极大}}=f（e）=\frac{1}{e}$，…（5分）f（x）无极小值．  
（Ⅱ）由于m＞0，n＞0，
有${m^n}＞{n^m}?ln{m^n}＞ln{n^m}?\frac{lnm}{m}＞\frac{lnn}{n}$．                 
由（Ⅰ）知$f（x）=\frac{lnx}{x}$在（0，e）单调递增，在（e，+∞）单调递减．
∴当m＞n＞e时，mⁿ＜n^m；
当e＞m＞n＞0时，mⁿ＞n^m．

点评 本题考查了函数的单调性、函数的极值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．