Question

5．已知二次函数f（x）=x²-2x+3
（Ⅰ）若函数$y=f（{log_3}x+m），x∈[\frac{1}{3}，3]$的最小值为3，求实数m的值；
（Ⅱ）若对任意互不相同的x₁，x₂∈（2，4），都有|f（x₁）-f（x₂）|＜k|x₁-x₂|成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令t=log₃x，（-1≤t≤1），则y=（t+m-1）²+2，由题意可得最小值只能在端点处取得，分别求得m的值，加以检验即可得到所求值；
（Ⅱ）判断f（x）在（2，4）递增，设x₁＞x₂，则f（x₁）＞f（x₂），原不等式即为f（x₁）-f（x₂）＜k（x₁-x₂），即有f（x₁）-kx₁＜f（x₂）-kx₂，由题意可得g（x）=f（x）-kx在（2，4）递减．由g（x）=x²-（2+k）x+3，求得对称轴，由二次函数的单调区间，即可得到所求范围

解答 解（Ⅰ）令t=log₃x+m，∵$x∈[\frac{1}{3}，3]$，∴t∈[m-1，m+1]，
从而y=f（t）=t²-2t+3=（t-1）²+2，t∈[m-1，m+1]
当m+1≤1，即m≤0时，${y_{min}}=f（m+1）={m^2}+2=3$，
解得m=-1或m=1（舍去），
当m-1＜1＜m+1，即0＜m＜2时，y_min=f（1）=2，不合题意，
当m-1≥1，即m≥2时，${y_{min}}=f（m-1）={m^2}-4m+6=3$，
解得m=3或m=1（舍去），
综上得，m=-1或m=3，
（Ⅱ）不妨设x₁＜x₂，易知f（x）在（2，4）上是增函数，故f（x₁）＜f（x₂），
故|f（x₁）-f（x₂）|＜k|x₁-x₂|可化为f（x₂）-f（x₁）＜kx₂-kx₁，
即f（x₂）-kx₂＜f（x₁）-kx₁（*），
令g（x）=f（x）-kx，x∈（2，4），即g（x）=x²-（2+k）x+3，x∈（2，4），
则（*）式可化为g（x₂）＜g（x₁），即g（x）在（2，4）上是减函数，
故$\frac{2+k}{2}≥4$，得k≥6，
故k的取值范围为[6，+∞）

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法和二次函数的最值的求法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用构造法，属于中档题．