Question

已知双曲线C：

x2

4

-y2=1，P为C上的任意点．
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值．

Answer 1

分析：（1）先设P（x₁，y₁）是双曲线上任意一点，再求出双曲线的渐近线方程，根据点到线的距离公式分别表示出点P（x₁，y₁）到两条渐近线的距离，然后两距离再相乘整理即可得到答案．
（2）先设A的坐标为（x，y），根据两点间的距离公式表示出PA|²并根据双曲线方程为

x2

4

-y2=1，用x表示出y代入整理成二次函数的形式，即可得到|PA|的最小值．

解答：解：
（1）设P（x₁，y₁）是双曲线上任意一点，
该双曲的两条渐近线方程分别是x-2y=0和x+2y=0．
点P（x₁，y₁）到两条渐近线的距离分别是

|x1-2y1|

5

和

|x1+2y1|

5

，
它们的乘积是

|x1-2y1|

5

•

|x1+2y1|

5

=

|x12-4y12|

5

=

4

5

．
点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数．
（2）设P的坐标为（x，y），则|PA|²=（x-3）²+y²=(x-3)2+

x2

4

-1=

5

4

(x-

12

5

)2+

4

5

∵|x|≥2，∴当x=

12

5

时，|PA|²的最小值为

4

5

，
即|PA|的最小值为

2 5

5

．

点评：本题主要考查双曲线的基本性质--渐近线方程，考查点到线的距离公式和两点间的距离公式．