Question

已知函数f（x）满足f（f（x））=x
（1）求出所有满足条件的一次函数f（x）
（2）函数f（x）可以是二次函数，三次函数吗？其他函数呢？
（3）研究f（x）是否具有某种对称性，若有请给出证明，若无请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出一次函数解析式f（x）=ax+b（a≠0），代入f（f（x））=x，由系数相等列式求解a，b的值，则所有满足条件的一次函数f（x）可求；
（2）由f（f（x））=x，两边取f^-1，得到f（f（x））=x，说明满足f（f（x））=x的函数f（x）具有反函数，由此断定f（x）不可能是二次函数或三次函数，并且验证函数f（x）=

1

x

满足等式；
（3）设出f（x）的图象上的任意一点（a，b），借助于f（x）=f^-1（x）证明点（a，b）关于直线y=x的对称点也在函数y=f（x）的图象上．

解答：解：（1）设一次函数f（x）=ax+b（a≠0），
由f（f（x））=x，得a（ax+b）+b=a²x+ab+b=x，
∴

a2=1      ① ab+b=0②

，
解①得，a=±1，
当a=1时，代入②得，b=0；
当a=-1时，代入②得，b∈R．
∴满足f（f（x））=x的一次函数为f（x）=x或f（x）=-x+b（b∈R）；
（2）由f（f（x））=x，得f^-1[f（f（x））]=f^-1（x），∴f（x）=f^-1（x）．
即函数f（x）与其反函数为同一函数．
∵二次函数在实数集上不存在反函数，∴f（x）不可能为二次函数；
设三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d （a≠0），
当a＞0时，存在一个x₀，使得当x＞x₀时，f（x）为增函数，
当a＜0时，存在一个x₀，使得当x＞x₀时，f（x）为减函数．
∴三次函数的图象不关于y=x对称，则f（x）不可能为三次函数；
∵函数f（x）=

1

x

的反函数是本身，∴当f（x）=

1

x

时有f（f（x））=x；
（3）f（x）的图象关于直线y=x对称．
事实上，设（a，b）为函数y=f（x）的图象上的任意一点，则b=f（a），
∴f^-1（b）=f^-1（f（a））=f（f^-1（a）），即a=f（b）．
而（a，b）关于y=x的对称点为（b，a），说明（b，a）满足y=f（x）成立．
∴若f（x）=f^-1（x），则其图象关于直线y=x对称．

点评：本题考查了函数的解析式即常用求法，考查了函数与其反函数图相间的关系，训练了利用比较系数法求函数的解析式，考查了学生的抽象思维能力，是中档题．