【题目】(10分)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.
(1)求四面体ABCD的体积;
(2)证明:四边形EFGH是矩形.
【答案】(1);(2)详见解析
【解析】
试题分析:(Ⅰ)证明AD⊥平面BDC,即可求四面体ABCD的体积;(Ⅱ)证明四边形EFGH是平行四边形,EF⊥HG,即可证明四边形EFGH是矩形
试题解析:(1)由该四面体的三视图可知,
BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,
BD=DC=2,AD=1,
∴AD⊥平面BDC.
∴四面体体积
V=××2×2×1=
(2)证明:∵BC∥平面EFGH,
平面EFGH∩平面BDC=FG,
平面EFGH∩平面ABC=EH,
∴BC∥FG,BC∥EH.∴FG∥EH.
同理EF∥AD,HG∥AD,
∴EF∥HG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
又∵AD⊥平面BDC,
∴AD⊥BC.∴EF⊥FG.
∴四边形EFGH是矩形.
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【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x= 时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( )
A.f(2)<f(﹣2)<f(0)
B.f(0)<f(2)<f(﹣2)
C.f(﹣2)<f(0)<f(2)
D.f(2)<f(0)<f(﹣2)
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【题目】已知函数f(x)=lnx﹣mx+m,m∈R.
(1)已知函数f(x)在点(l,f(1))处与x轴相切,求实数m的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)在(1)的结论下,对于任意的0<a<b,证明: < ﹣1.
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【题目】定义max{a,b}表示实数a,b中的较大的数.已知数列{an}满足a1=a(a>0),a2=1,an+2= (n∈N),若a2015=4a,记数列{an}的前n项和为Sn , 则S2015的值为 .
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【题目】如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD,.
(1)证明: A1BD // 平面CD1B1;
(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.
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【题目】已知椭圆,上顶点为,焦点为,点是椭圆上异于点的不同的两点,且满足直线与直线斜率之积为.
(1)若为椭圆上不同于长轴端点的任意一点,求面积的最大值;
(2)试判断直线是否过定点;若是,求出定点坐标;若否,请说明理由.
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【题目】已知椭圆的离心率为,短轴长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设, 是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点,连接交椭圆于另一点,证明直线与轴相交于定点;
(3)在(2)的条件下,过点的直线与椭圆交于, 两点,求的取值范围.
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