Question

在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=BC=BB₁，D为AC的中点，
  （1）求证：B₁C∥平面A₁BD；

  （2）若AC₁⊥平面A₁BD，二面角B—A₁C₁—D的余弦值.

Answer 1

（1）证明见解析 （2）

（1）连结AB₁交于A₁B于点E，连结ED.
∵侧面ABB₁A₁是正方形  ∴E是AB₁的中点
又∵D是AC的中点  ∴ED∥B₁C
∴B₁C∥平面A₁BD………………4分
（2）取A₁C₁的中点G，连结DG，则DG⊥A₁C₁
∵AB=BC   ∴BD⊥AC  ∴BD⊥平面A₁C₁D
∴BG⊥A₁C₁
∴∠BGD为二面角B—A₁C₁—D的平面角………………8分
∵AC₁⊥平面A₁BD，∴AC₁⊥BD，又∵CC₁⊥平面ABCD，且AC₁在平面ABC的射影为AC，∴AC⊥BD
∵AB=BC且D为AC中点，∴AB⊥BC  且BD=AB
又∵DG=A₁A=AB
∴BG=AB    ∴……………………12分