Question

3．设函数f（x）=|x+3|+|x-1|的最小值为m．
（1）求m的值；
（2）若正实数a，b满足$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\sqrt{3}$，求证：$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$≥$\frac{m}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用零点分段法，求出函数f（x）=|x+3|+|x-1|的最小值，可得答案；
（2）利用柯西不等式，可证得结论．

解答 （1）解：当x≤-3时，f（x）=|x+3|+|x-1|=-2x-2≥4，
当-3＜x＜1时，f（x）=|x+3|+|x-1|=4，
当x≥1时，f（x）=|x+3|+|x-1|=2x+2≥4，
综上所述函数f（x）=|x+3|+|x-1|的最小值为4，
故m=4；
（2）证明：∵$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\sqrt{3}$，
（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$）[1²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²]≥（$\frac{1}{a}$×1+$\frac{\sqrt{2}}{b}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）²=3，
即（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$）≥2=$\frac{m}{2}$．

点评 本题考查零点分段法，不等式的解法，考查柯西不等式，正确运用柯西不等式是关键