Question

已知f（x）=．是否存在实数p、q、m，使f（x）同时满足下列三个条件：
①定义域为R的奇函数；
②在[1，+∞）上是减函数；
③最小值是-1．若存在，求出p、q、m；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：∵f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=0 即q=0，得q=1
又f（-x）=-f（x）
∴=-，
∴=，
即（x²+1）²-p²x²=（x²+1）²-m²x²
∴p²=m²
若p=m，则f（x）=0，不合题意．故p=-m≠0
∴f（x）=
由f（x）在[1，+∞）上是减函数，
x≠0时，令g（x）==1-=1-
∵在[1，+∞）上递增，在（-∞，-1）也递增，只有m＞0时，在[1，+∞）上g（x）递增，从而f（x）递减．
即m＞0时函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数，在（-1，0）上为增函数，在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数
∴x=-1时，在（-∞，-1]上取得最大值-2，此时由f（x）的最小值为-1得g（x）的最大值为3．
∴1-=3 得m=1，从而p=-1
综上可知，存在p=-1，q=1，m=1．
分析：先利用奇函数的定义得q=1，且p=-m≠0，再利用复合函数法，结合已知函数的单调区间判断m＞0，从而确定函数f（x）的单调区间，最后结合单调性与已知的最小值，推测只能当x=-1时函数f（x）取最小值-1，从而解得m的值，进而得p、q、m的值
点评：本题考查了奇函数的定义及其应用，复合函数法判断函数的单调性，并利用单调性求函数最值的方法，逻辑推理能力和运算能力