【题目】设函数 .
(Ⅰ)若 ,求f(x)的极值;
(Ⅱ)若f(x)在定义域上单调递增,求实数a的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)定义域为x∈(0,+∞). 当 时, 且f'(1)=0.
令h(x)=﹣x+1﹣lnx,则 ,
故h(x)在定义域上是减函数,
注意到h(1)=0,
∴当x∈(0,1)时,h(x)>h(1)=0,此时f'(x)>0;
当x∈(1,+∞)时,h(x)<h(1)=0,此时f'(x)<0.
∴f(x)的极大值为f(1)=0,无极小值.
(Ⅱ)当x∈(0,+∞)时,f′(x)= ≥0,
故2a≥ ,
令 ,
∴ ,
由g'(x)>0得x∈(0,e2),
由g'(x)<0得x∈(e2 , +∞),
故g(x)的最大值为 ,
∴2a≥ ,a≥ e﹣2
【解析】(Ⅰ)求出函数到底是,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;(Ⅱ)问题转化为2a≥ ,令 ,根据函数的单调性求出a的范围即可.
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数是解答本题的根本,需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.
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【题目】已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的 ,则其体积缩小到原来的 ;
②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;
③直线x+y+1=0与圆x2+y2= 相切.
其中真命题的序号是 .
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【题目】给出下列五个命题:
①函数 的一条对称轴是x= ;
②函数y=tanx的图象关于点( ,0)对称;
③正弦函数在第一象限为增函数;
④若 ,则x1﹣x2=kπ,其中k∈Z;
⑤函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围为(1,3).
以上五个命题中正确的有(填写所有正确命题的序号)
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【题目】已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<﹣1或 ,则f(ex)>0的解集为( )
A.{x|x<﹣1或x>﹣ln3}
B.{x|﹣1<x<﹣ln3}
C.{x|x>﹣ln3}
D.{x|x<﹣ln3}
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【题目】已知函数f(x)= .
(1)计算f(3),f(4),f( )及f( )的值;
(2)由(1)的结果猜想一个普遍的结论,并加以证明;
(3)求值f(1)+f(2)+…+f(2017)+f( )+f( )+…+f( ).
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【题目】已知样本数据a1 , a2 , a3 , a4 , a5的方差s2= (a12+a22+a32+a42+a52﹣80),则样本数据2a1+1,2a2+1,2a3+1,2a4+1,2a5+1的平均数为 .
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【题目】设A(n)表示正整数n的个位数,an=A(n2)﹣A(n),A为数列{an}的前202项和,函数f(x)=ex﹣e+1,若函数g(x)满足f[g(x)﹣ ]=1,且bn=g(n)(n∈N*),则数列{bn}的前n项和为 .
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