【题目】已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为,右顶点为,设点.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若是椭圆上的动点,求线段中点的轨迹方程;
(3)过原点的直线交椭圆于点,求面积的最大值.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】试题分析:(1)由"左焦点为,右顶点为"得到椭圆的半长轴,半焦距,再求得半短轴最后由椭圆的焦点在轴上求得方程;(2)设线段的中点为,点的坐标是,由中点坐标公式,分别求得,代入椭圆方程,可求得线段中点的轨迹方程;(3)分直线垂直于轴时和直线不垂直于轴两种情况分析,求得弦长,原点到直线的距离建立三角形面积模型,再用基本不等式求其最值.
试题解析:(1)椭圆的标准方程为.
(2)设线段的中点为,点的坐标是,
由,得
点在椭圆上,得
∴线段中点的轨迹方程是.
(3)当直线垂直于轴时, ,因此的面积.
当直线不垂直于轴时,该直线方程为,代入,
解得, ,
则,又点到直线的距离,
∴的面积
于是
由,得,其中,当时,等号成立.
∴的最大值是.
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【题目】(本小题满分12分,(1)小问5分,(2)小问7分)
如图,椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点,且
(1)若,求椭圆的标准方程
(2)若求椭圆的离心率
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【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的一系列对应值如下表:
x | |||||||
y | ﹣1 | 1 | 3 | 1 | ﹣1 | 1 | 3 |
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式.
(2)根据(1)的结果,若函数y=f(kx)(k>0)周期为 ,当 时,方程f(kx)=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.
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【题目】f(x)=x2﹣2x,g(x)=ax+2(a>0),若对任意的x1∈[﹣1,2],存在x0∈[﹣1,2],使g(x1)=f(x0),则a的取值范围是( )
A.
B.
C.[3,+∞)
D.(0,3]
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【题目】已知圆C:x2+y2﹣4x﹣6y+12=0,点A(3,5).
(1)求过点A的圆的切线方程;
(2)O点是坐标原点,连接OA,OC,求△AOC的面积S.
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【题目】己知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=2loga(2x+t)(t∈R),a>0,且a≠1.
(1)若1是关于x的方程f(x)﹣g(x)=0的一个解,求t的值;
(2)当0<a<1且t=﹣1时,解不等式f(x)≤g(x);
(3)若函数F(x)=af(x)+tx2﹣2t+1在区间(﹣1,2]上有零点,求t的取值范围.
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【题目】下列命题中,真命题是( )
A.若 与 互为负向量,则 + =0
B.若 =0,则 = 或 =
C.若 , 都是单位向量,则 =1
D.若k为实数且k = ,则k=0或 =
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【题目】养正中学新校区内有一块以O为圆心,R(单位:米)为半径的半圆形荒地(如图),校总务处计划对其开发利用,其中弓形BCD区域(阴影部分)用于种植观赏植物,△OBD区域用于种植花卉出售,其余区域用于种植草皮出售。已知种植观赏植物的成本是每平方米20元,种植花卉的利润是每平方米80元,种植草皮的利润是每平方米30元。
(1)设(单位:弧度),用表示弓形BCD的面积
(2)如果该校总务处邀请你规划这块土地。如何设计的大小才能使总利润最大?并求出该最大值
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【题目】已知函数f(x)=ax+ (其中a,b为常数)的图象经过(1,2),(2, )两点.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断f(x)的奇偶性.
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