Question

【题目】如图，椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，其左焦点到点P（2，1）的距离为 ，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．

（1）求椭圆C的方程；
（2）求△APB面积取最大值时直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意 ，解得： ．

∴所求椭圆C的方程为： ．

（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M

当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=0，与不过原点的条件不符，故设AB的方程为y=kx+m（m≠0）

由 ，消元可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0①

∴ ，

∴线段AB的中点M

∵M在直线OP上，∴

∴k=﹣

故①变为3x2﹣3mx+m2﹣3=0，又直线与椭圆相交，

∴△＞0，x1+x2=m，

∴|AB|=

P到直线AB的距离d=

∴△APB面积S= （m∈（﹣2 ，0）

令u（m）=（12﹣m2）（m﹣4）2，则

∴m=1﹣ ，u（m）取到最大值

∴m=1﹣ 时，S取到最大值

综上，所求直线的方程为：

【解析】（1）由题意，根据离心率为 ，其左焦点到点P（2，1）的距离为 ，建立方程，即可求得椭圆C的方程；（2）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），线段AB的中点为M，当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=0，与不过原点的条件不符，故设AB的方程为y=kx+m（m≠0）由 ，消元再利用韦达定理求得线段AB的中点M，根据M在直线OP上，可求|AB|，P到直线AB的距离，即可求得△APB面积，从而问题得解．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能得出正确答案．