Question

设函数f（x）=x+ax²+blnx（a，b∈R），曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．
（1）求a，b的值；
（2）令g（x）=f（x）-3x+2，求函数g（x）在x=1处的切线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，建立方程组，即可a，b的值；
（2）写出g（x）的表达式，求出导数，求得切线的斜率和切点，再由点斜式方程，即可得到切线方程．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x+ax²+blnx过点P（1，0），
∴f（1）=1+a=0，即a=-1．
函数f（x）=x-x²+blnx的导数为f′（x）=x-2x+

b

x

，
∵曲线y=f（x）过点P（1，0）且在点P处的切线斜率为2，
∴k=f′（1）=1-2+b=2，解得b=3，
即a=-1，b=3；
（2）g（x）=f（x）-3x+2=x-x²+3lnx-3x+2=-2x-x²+3lnx+2，
则g′（x）=-2-2x+

3

x

，则函数g（x）在x=1处的切线斜率为-2-2+3=-1，
切点为（1，g（1））即为（1，-1），
则切线方程为：y+1=-（x-1），
即为x+y=0．

点评：本题主要考查导数的几何意义，利用导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．