Question

（2013•徐州模拟）设中心在原点的双曲线与椭圆

x2

2

+y²=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是

2x²-2y²=1

．

Answer 1

分析：欲求双曲线方程，只需求出双曲线中的a，b的值即可，根据双曲线与椭圆

x2

2

+y²=1有公共的焦点，求出椭圆中的c值，也即双曲线中的c值，再求出椭圆中的离心率，因为椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以可得双曲线中离心率，据此求出a值，再利用a，b，c之间的关系式，就可得到双曲线的方程．

解答：解：椭圆

x2

2

+y²=1中c=1
∵中心在原点的双曲线与椭圆

x2

2

+y²=1有公共的焦点
∴双曲线中c=1，
∵椭圆

x2

2

+y²=1的离心率为

c

a

=

2

2

，椭圆与双曲线的离心率互为倒数．
∴双曲线的离心率为

2

，
∴双曲线中a=

2

2

，b²=c²-a²=

1

2

，b=

2

2

∴双曲线的方程为2x²-2y²=1
故答案为2x²-2y²=1．

点评：本题主要考查了椭圆，双曲线的标准方程以及性质的应用．