本小题满分13分)
已知圆,△ABC内接于此圆,A点的坐标(3,4),O为坐标原点.
(Ⅰ)若△ABC的重心是G(,2),求BC中点D的坐标及直线BC的方程;
(Ⅱ)若直线AB与直线AC的倾斜角互补,求证:直线BC的斜率为定值.
(Ⅰ) x+y-2=0. (Ⅱ)。
解析试题分析:(1)要求三角形顶点的坐标,可先将它们的坐标设出来,根据重心的性质,我们不难求出BC边上中点D的坐标,及BC所在直线的斜率,代入直线的点斜式方程即可求出答案.
(2)若直线AB与直线AC的倾斜角互补,则他们的斜率互为相反数,又由他们都经过A点,则可以设出他们的点斜式方程,代入圆方程后,求出BC两点的坐标,代入斜率公式,即可求证出正确的结论。
解:(Ⅰ)设B(x1,y1),C(x2,y2) 由题意可得:
, ∴ BC中点的坐标为(1,1),
又B、C在已知圆上 ,故有:
相减得:
∴
∴直线BC的方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0. …………………………6分
(Ⅱ)设AB:y=k(x-3)+4,代入圆的方程整理得:
∵3,x1是上述方程的两根
同理可得:
. ……………13
考点:本题主要考查了三角新重心坐标的求解,以及直线方程的求解的运用。
点评:解决该试题的关键是根据三角形重心的坐标是三角形三个顶点坐标的平均数,由重心坐标及任意两顶点的坐标,构造方程易求第三个顶点的坐标;已知三个顶点的坐标,代入重心坐标公式,即得重心坐标;如果已知重心坐标和其中一个顶点的坐标,则我们只能求出该顶点对边上中点的坐标.
科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分13分)
已知函数f (x) = 2cos2x-2sinxcosx + 1.
(1)设方程f (x) – 1 = 0在(0,)内的两个零点x1,x2,求x1 + x2的值;
(2)把函数y = f (x)的图象向左平移m (m>0)个单位使所得函数的图象关于点(0,2)对称,求m的最小值.
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科目:高中数学 来源:2011届江西省赣县中学高三适应性考试文科数学 题型:解答题
(本小题满分13分) 已知函数,且对于任意实数,恒有.
(1)求函数的解析式;
(2)已知函数在区间上单调,求实数的取值范围;
(3)若函数有2个零点?求的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年湖南省长沙市高三第四次月考文科数学试卷 题型:解答题
(本小题满分13分)已知函数().
(1)若函数有三个零点分别为,且,,求函数的单调区间;
(2)若,,证明:函数在区间(0,2)内一定有极值点;
(3)在(2)的条件下,若函数的两个极值点之间的距离不小于,求的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年北京四中高三上学期期中考试数学文卷 题型:解答题
(本小题满分13分)已知:若是公差不为0的等差数列的前项和,且、、成等比数列。 (1)求:数列、、的公比; (2)若,求:数列的通项公式。
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年北京市石景山区高三统一考试数学理卷 题型:解答题
(本小题满分13分)
已知椭圆经过点,离心率为,动点
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程;
(Ⅲ)设F是椭圆的右焦点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,证明线段ON的长为定值,并求出这个定值.
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