Question

已知函数f(x)=x³+bx²+cx+d在区间(-∞,0)上是增函数,在区间(0,2)上是减函数,且方程f(x)=0有三个实数根,它们分别为α、2、β.

(1)求c的值;

(2)求证:f(1)≥2;

(3)求|α-β|的取值范围.

Answer 1

答案：(1)解：f′(x)=3x²+2bx+c,∵f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,在区间(0,2)上是减函数,

∴当x=0时,f(x)取极大值.∴f′(0)=0.∴c=0.

(2)证明:∵f(2)=0,∴d=-4(b+2).∵f′(x)=3x²+2bx,令f′(x)=0,∴x=0或x=.∵f(x)在区间(0,2)上是减函数,∴≥2.∴b≤-3.∴f(1)=b+d+1=b-4(b+2)+1=-7-3b≥2.

(3)解：∵f(x)=0的三个实数根为α、2、β,故设f(x)=(x-α)(x-2)(x-β),

∴f(x)=x³-(2+α+β)x²+(2α+2β+αβ)x-2αβ.∴

∴

而|α-β|=,

∵b≤-3,∴(b-2)²≥25.∴(b-2)²-16≥9.∴|α-β|≥3.∴|α-β|的取值范围为［3,+∞).