Question

15．求函数y=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$的定义域和值域，判断此函数的单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

分析 根据函数y的解析式，分母不为0，求出x的取值范围；
化简函数y的解析式，求出y的取值范围，即得定义域和值域；
用单调性定义证明函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调减函数，在（-∞，0）上也是单调减函数．

解答 解：∵函数y=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$，
∴2^x-1≠0，
解得x≠0，
∴函数y的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）；
又y=$\frac{{2}^{x}-1+2}{{2}^{x}-1}$=1+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$，
当x＜0时，2^x＜1，∴2^x-1＜0，
∴$\frac{2}{{2}^{x}-1}$＜0，
∴y＜1；
当x＞0时，2^x＞1，∴2^x-1＞0，
∴$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＞0，
∴y＞1；
∴函数y的值域是（-∞，1）∪（1，+∞）；
函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调减函数，在（-∞，0）上也是单调减函数；
证明如下：任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（1+$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}-1}$）-（1+$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}-1}$）
=$\frac{2{（2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}）}{{（2}^{{x}_{1}}-1）{（2}^{{x}_{2}}-1）}$；
∵0＜x₁＜x₂，∴1＜${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，
∴${2}^{{x}_{1}}$-1＞0，${2}^{{x}_{2}}$-1＞0，${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在定义域（0，+∞）上是单调减函数；
同理，f（x）在（-∞，0）上是单调减函数．

点评 本题考查了求函数的定义域和值域的应用问题，也考查了利用定义判断和证明函数的单调性问题，是中档题目．