Question

如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，F为BA延长线上一点，且满足BD•BE=BA•BF．
求证：
（1）EF⊥FB；
（2）∠DFB+∠DBC=90°．

Answer 1

（1）证明：连接AD，则∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°
在△ADB和△EFB中，∵BD•BE=BA•BF，∴…．．（2分）
又∠DBA=∠EBF，∴△ADB∽△EFB…．．（4分）
则∠EFB=∠ADB=90°，∴EF⊥FB…．．（5分）
（2）在△ADB中，∠ADB=∠ADE=90°
又∠EFB=90°∴E、F、A、D四点共圆； …（7分）
∴∠DFB=∠AEB…．．（9分）
又AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，
∴∠DFB+∠DBC=∠AEB+∠DBC=90°…（10分）
分析：（1）利用BD•BE=BA•BF，可得，从而可知△ADB∽△EFB，可得∠EFB=∠ADB，利用AB是⊙O的直径，即可得到结论；
（2）先证明E、F、A、D四点共圆，从而可得∠DFB=∠AEB，利用AB是⊙O的直径，可证结论成立．
点评：本题考查三角形的相似，考查四点共圆，掌握三角形相似的判定方法是关键．