Question

1．已知函数$f（x）=cos（{2π-ωx}）+\sqrt{3}cos（{\frac{π}{2}+ωx}）（{x∈R，ω＞0}）$满足f（m）=-2，f（n）=2，且|m-n|的最小值为$\frac{π}{2}$．
（1）求ω的值，并求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位得到函数g（x）的图象，已知a为△ABC中角A的对边，若g（A）=1，a=4，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，由g（A）=1求得A的值，再利用余弦定理、基本不等式求得bc的最大值，可得△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）∵$f（x）=cosωx-\sqrt{3}sinωx=2cos（ωx+\frac{π}{3}）$，f（m）=-2，f（n）=2，且|m-n|的最小值为$\frac{π}{2}$．
∴T=π，即$\frac{2π}{ω}=π，ω=2$，即$f（x）=2cos（2x+\frac{π}{3}）$．
而f（x）在$2x+\frac{π}{3}∈[2kπ-π，2kπ]，k∈Z$上单调递增，求得x∈$[kπ-\frac{2π}{3}，kπ-\frac{π}{6}]，k∈Z$，
所以函数f（x）的单调递增区间为$[kπ-\frac{2π}{3}，kπ-\frac{π}{6}]，k∈Z$．
（2）由题意可得，$g（x）=2cos[2（x-\frac{π}{3}）+\frac{π}{3}]=2cos（2x-\frac{π}{3}）$，
由g（A）=1可得，$2cos（2A-\frac{π}{3}）=1$，而A∈（0，π），可得，$A=\frac{π}{3}$．
由余弦定理得：b²+c²-16=2bccosA=bc，
即bc+16=b²+c²≥2bc，求得bc≤16，当且仅当b=c时“=”成立，
所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc≤4\sqrt{3}$，故三角形面积的最大值为$4\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦定理、基本不等式，属于中档题．