Question

如图所示，已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E分有向线段AC所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当时，求双曲线的离心率e的取值范围．

Answer 1

答案：略
解析：

解：如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴． 因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．依题意，记A(－c，0)，， 设，其中为双曲线的半焦距，h是梯形的高． 由定比分点坐标公式得 设双曲线的方程为，则． 由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得 ，　　　　　　　　　　　　　　　① ．　　　　　　　　② 由①式得．　　　　　　　　　　　③ 将③式代入②式，整理得 ， 故． 由题设，得 ． 解得． 所以双曲线的离心率e的取值范围是．

提示：

分析：这是一道解析几何与代数知识的综合题，实质上是利用已知条件求得λ与双曲线离心率e之间的关系，然后根据λ的取值，求出e的取值范围．