Question

【题目】已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为．

（1）求双曲线C的方程．

（2）经过点M（2，1）作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长．

Answer 1

【答案】（1）x21 （2）y＝4x﹣7，弦长

【解析】

（1）求出双曲线的焦点坐标，结合离心率，联立求解a,b,c得到双曲线的方程；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程，用点差法求出直线斜率，弦长公式求弦长即可.

（1）由题意得椭圆的焦点为F1（，0），F2（，0），

设双曲线方程为1，a＞0，b＞0，

则c2＝a2+b2＝3，

∵e

∴ca，

解得a2＝1，b2＝2，

∴双曲线方程为x21．

（2）把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入双曲线x12y12＝1，x22y22＝1，

两式相减，得（x1﹣x2）（x1+x2）（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，

把x1+x2＝4，y1+y2＝2代入，得4（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）＝0，

∴kAB4，

∴直线L的方程为y＝4x﹣7，

把y＝4x﹣7代入x21，

消去y得14x2﹣56x+51＝0，

∴x1+x2＝4，x1x2＝ ，k＝4，

∴|AB|．