Question

19．设函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-bx
（1）当a=b=$\frac{1}{2}$时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=0，b=-1时，方程f（x）=mx在区间[1，e²]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a，b的值代入，求出函数f（x）的表达式，导数，从而求出函数的单调区间；
（2）将a，b的值代入函数的表达式，问题转化为只需m=1+$\frac{lnx}{x}$有唯一实数解，求出函数y=g（x）=1+$\frac{lnx}{x}$的单调性，从而求出m的范围．

解答 解：（1）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=b=$\frac{1}{2}$时，f（x）=lnx-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x，
∴f′（x）=$\frac{-（x+2）（x-1）}{2x}$，
令f′（x）=0，解得：x=1或x=-2（舍去），经检验，x=1是方程的根．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，
所以f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．
（2）当a=0，b=-1时，f（x）=lnx+x，
由f（x）=mx得mx=lnx+x，
又因为x＞0，所以m=1+$\frac{lnx}{x}$，
要使方程f（x）=mx在区间[1，e²]内有唯一实数解，
只需m=1+$\frac{lnx}{x}$有唯一实数解，
令g（x）=1+$\frac{lnx}{x}$（x＞0），∴g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$（x＞0），
由g′（x）＞0，得：0＜x＜e，由g′（x）＜0，得x＞e，
所以g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e²]上是减函数，
g（1）=1+$\frac{ln1}{1}$=1，g（e²）=1+$\frac{l{ne}^{2}}{{e}^{2}}$=1+$\frac{2}{{e}^{2}}$，
g（e）=1+$\frac{lne}{e}$=1+$\frac{1}{e}$，
所以m=1+$\frac{1}{e}$或1≤m＜1+$\frac{2}{{e}^{2}}$．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，考查转化思想，是一道中档题．