Question

已知函数f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x）．（a＞0且a≠1．）
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）当0＜a＜1时，求使f（x）＞0的x的解集．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数的定义域及其求法,函数奇偶性的判断

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）解不等式组

x+1＞0 1-x＞0

，即可；
（2）判断f（x）是奇函数，运用奇函数的定义，即可得到；
（3）由0＜a＜1时，f（x）在定义域{x|-1＜x＜1}内是减函数，即可得到不等式组，解出即可．

解答： 解；（1）∵f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），
∴

x+1＞0 1-x＞0

，
解得-1＜x＜1，
故所求函数的定义域为{x|-1＜x＜1}；
（2）函数f（x）为奇函数．
理由：由（1）知f（x）的定义域为{x|-1＜x＜1}，关于原点对称，
又f（-x）=log_a（-x+1）-log_a（1+x）=-f（x），故f（x）为奇函数；
（3）由f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x）＞0，得log_a（x+1）＞log_a（1-x），
当0＜a＜1时，f（x）在定义域{x|-1＜x＜1}内是减函数，
可得

-1＜x＜1 x+1＜1-x

，
解得-1＜x＜0，
∴使f（x）＞0的x的解集是{x|-1＜x＜0}．

点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的定义域和单调性及应用、奇偶性和运用，解对数不等式，切记函数的定义域．