Question

如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，直线⊥x轴于点C， ，,动点到直线的距离是它到点D的距离的2倍 

（I）求点的轨迹方程；

（II）设点K为点的轨迹与x轴正半轴的交点,直线交点的轨迹于两点（与点K均不重合）,且满足  求直线EF在X轴上的截距；

（Ⅲ）在（II）的条件下，动点满足,求直线的斜率的取值范围 

Answer 1

（Ⅰ）动点M的轨迹方程为：；（Ⅱ）直线EF在X轴上的截距为    ；（Ⅲ）。

解析:

（I）依题意知,点的轨迹是以点为焦点、直线为其相应准线,

离心率为的椭圆

设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,

又，，∴点在x轴上,且,则3，

解之得：,     

∴坐标原点为椭圆的对称中心 

∴动点M的轨迹方程为：              

（II）设,设直线的方程为（－２〈n〈2）,代入得

                     

, 

    

，K（2，0）,,

,

 

解得: (舍)      ∴ 直线EF在X轴上的截距为    

（Ⅲ）设,由知, 

直线的斜率为             

当时,;

当时,,

时取“=”）或时取“=”），

                                 

综上所述