Question

16．O为△ABC内任意一点，如图所示，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点．求证：$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$$+\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OD}$$+\overrightarrow{OE}$$+\overrightarrow{OF}$．

Answer 1

分析 作差$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$$+\overrightarrow{OC}$-（$\overrightarrow{OD}$$+\overrightarrow{OE}$$+\overrightarrow{OF}$），化简即可证明．

解答 证明：∵$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$$+\overrightarrow{OC}$-（$\overrightarrow{OD}$$+\overrightarrow{OE}$$+\overrightarrow{OF}$）
=（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OD}$）+（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OE}$）+（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OF}$）
=$\overrightarrow{DA}$+$\overrightarrow{EB}$+$\overrightarrow{FC}$
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$$+\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OD}$$+\overrightarrow{OE}$$+\overrightarrow{OF}$．

点评 本题考查了平面向量的加减法运算及数乘运算，利用了平行四边形法则及三角形法则．