Question

已知函数y=lg（ax²-2x+2）．
（1）若函数y=lg（ax²-2x+2）的值域为R，求实数a的取值范围；
（2）若方程lg（ax²-2x+2）=1在[

1

2

，2]内有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）此函数的值域为R，等价于真数ax²-2x+2能取遍一切正实数，由a=0时，显然成立，a≠0时，利用二次函数的图象性质得关于a的不等式，即可解得a的范围；
（2）将对数方程有解问题转化为二次方程有解问题，进而参变分离，转化为求函数在[

1

2

，2]内值域问题，最后利用换元法求二次函数值域即可

解答：解：（1）∵函数y=lg（ax²-2x+2）的值域为R
∴y=ax²-2x+2能取遍一切正实数
∴a=0或

a＞0 △=4-8a≥0

∴0≤a≤

1

2

（2）∵方程lg（ax²-2x+2）=1在[

1

2

，2]内有解，
即 ax²-2x+2=10 在[

1

2

，2]内有解，
即a=

2x+8

x2

=

2

x

+

8

x2

 在[

1

2

，2]内有解，
设t=

1

x

，则t∈[

1

2

，2]，a=2t+8t²=8（t+

1

8

）²-

1

8

∴当t=

1

2

时，a取最小值3，当t=2时，a取最大值36
∴a∈[3，36]

点评：本题主要考查了对数复合函数的性质和应用，二次函数的图象和性质，二次函数的值域的求法，转化化归的思想方法