Question

已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

2

2

，且椭圆经过圆C：x2+y2-2

2

x-2y=0的圆心C．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ） 设Q是椭圆E上的一点，过点Q的直线l交x轴于点F（-1，0），交y轴于点M，若|

MQ

|=2|

QF

|，求直线l的斜率．

Answer 1

分析：（1）把圆的方程整理成标准方程求得圆心的坐标，代入椭圆的方程求得a和b的关系，利用椭圆的离心率求得a和b另一关系，联立求得a和b．则椭圆的方程可得．
（2）设出直线l的方程，则M的坐标可得，设出Q的坐标，根据题意可（x₁，y₁-k）=±2（x₁+1，y₁）求得x₁和y₁代入椭圆方程求得k．

解答：解：（1）整理圆的方程可得（x-

2

）²+（y-1）²=3，圆心为（

2

，1）
依题意可得

a2-b2 a2 = 1 2 2 a2 + 1 b2 =1

求得a=2，b=

2

∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

2

=1

（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线斜率为k直线l的方程为y=k（x+1），则有M（0，k），
设Q（x₁，y₁），由于Q、F、M三点共线，|

MQ

|=2|

QF

|，
根据题意得（x₁，y₁-k）=±2（x₁+1，y₁）解得x₁=-2，y₁=-k或x₁=-

2

3

，y₁=

k

3

又Q在椭圆C上，故

4

4

+

k2

2

=1或

4 9

4

+

k2 9

2

=1
解得k=0，k=±4
综上，直线l的斜率为0或±4．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了学生综合分析问题的能力和基本的运算能力，推理能力．