【题目】某班数学兴趣小组对函数的图象和性质将进行了探究,探究过程如下,请补充完整.
(1)自变量的取值范围是除
外的全体实数,
与
的几组对应值列表如下:
其中,_________;
(2)根据上表数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分;
(3)观察函数图象,写出一条函数性质;
(4)进一步探究函数图象发现:
①函数图象与轴交点情况是________,所以对应方程
的实数根的情况是________;
②方程有_______个实数根;
③关于的方程
有
个实数根,
的取值范围是________.
【答案】(1);(2)图象见解析;(3)函数
的单调递减区间为
(答案不唯一);(4)①无交点,无实数根;②
;③
.
【解析】
(1)把代入
求得
的值,即可得出
的值;
(2)根据表格提供的数据描点,连线即可得到函数的另一部分图象;
(3)观察图象,总结出函数的性质即可;
(4)①由于的值不能为
,故函数值也不能为
,从而可得出函数图象与
轴无交点,因而
无实数根;
②方程的实数根的个数可以看作函数
与直线
的交点个数,画出图象即可得到结论;
③由②的图象即可得到结果.
(1)把代入
得,
,所以,
;
(2)如图所示:
(3)观察图象可知,函数的单调递减区间为
(答案不唯一);
(4)①,
,所以,函数
的图象与
轴无交点,则方程
无实数根;
②求方程的根的个数,可以看成函数
与直线
的交点个数,如图,
函数与直线
有两个交点,故方程
有
个实数根,
③由②的图象可以得出,关于的方程
有
个实数根,
的取值范围是
.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,PA⊥底面ABCD,
,
,
,
.
(1)求证:平面PCA⊥平面PCD;
(2)设E为侧棱PC上的一点,若直线BE与底面ABCD所成的角为45°,求二面角的余弦值.
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【题目】曲线,直线
关于直线
对称的直线为
,直线
,
与曲线
分别交于点
、
和
、
,记直线
的斜率为
.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)当变化时,试问直线
是否恒过定点?若恒过定点,求出该定点坐标;若不恒过定点,请说明理由.
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【题目】已知直线的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆
的极坐标方程为
,直线
与圆
交于
,
两点.
(1)求圆的直角坐标方程及弦
的长;
(2)动点在圆
上(不与
,
重合),试求
的面积的最大值.
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【题目】探究函数的图象与性质.
(1)下表是y与x的几组对应值.
… | … | ||||||||
… | … |
其中m的值为_______________;
(2)根据上表数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并已画出了函数图象的一部分,请你画出该图象的另一部分;
(3)结合函数的图象,写出该函数的一条性质:_________;
(4)若关于x的方程有2个实数根,则t的取值范围是______.
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【题目】若一个函数当自变量在不同范围内取值时,函数表达式不同,我们称这样的函数为分段函数.下面我们参照学习函数的过程与方法,探究分段函数的图象与性质.列表:
x | … | 0 | 1 | 2 | 3 | … | |||||||||
y | … | 1 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | … |
描点:在平面直角坐标系中,以自变量x的取值为横坐标,以相应的函数值y为纵坐标,描出相应的点,如图所示.
(1)如图,在平面直角坐标系中,观察描出的这些点的分布,作出函数图象;
(2)研究函数并结合图象与表格,回答下列问题:
①点,
,
,
在函数图象上,
,
;(填“>”,“=”或“<”)
②当函数值时,求自变量x的值;
③在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点
,
,且
,求
的值;
④若直线与函数图象有三个不同的交点,求a的取值范围.
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【题目】如图,某地有南北街道5条,东西街道5条,现在甲、乙、丙3名邮递员从该地西南角的邮局出发,送信到东北角的
地,要求所走路程最短,设图中点
,
,
是交叉路口,且
路段由于修路不能通行.
(1)求甲从到
共有多少种走法?(用数字作答)
(2)求甲经过点的概率;
(3)设3名邮递员恰有名邮递员经过点
,求随机变量
的概率分布和数学期望.
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【题目】如图,第1个图形由正三角形扩展而成,共12个顶点.第n个图形是由正n+2边形扩展而来 ,则第n+1个图形的顶点个数是 ( )
(1)
(2)
(3)
(4)
A. (2n+1)(2n+2)B. 3(2n+2)C. (n+2)(n+3)D. (n+3)(n+4)
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【题目】某服装批发市场1-5月份的服装销售量与利润
的统计数据如下表:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售量 | 3 | 6 | 4 | 7 | 8 |
利润 | 19 | 34 | 26 | 41 | 46 |
(1)从这五个月的利润中任选2个,分别记为,
,求事件“
,
均不小于30”的概率;
(2)已知销售量与利润
大致满足线性相关关系,请根据前4个月的数据,求出
关于
的线性回归方程
;
(3)若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过2万元,则认为得到的利润的估计数据是理想的.请用表格中第5个月的数据检验由(2)中回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是否理想.参考公式: .
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