Question

【题目】已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2（a＞0）在x=1处有极值10．
（1）求a、b的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求f（x）在[0，4]上的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】解：（1）由f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b+a2=10，
得a=4，或a=﹣3
∵a＞0，∴a=4，
b=﹣11（经检验符合）
（2）f（x）=x3+4x2﹣11x+16，f'（x）=3x2+8x﹣11，
由f′（x）=0得,x2=1
所以令f′（x）＞0得或；令得
所以f（x）在上单调递增，上单调递减．
（3）由（2）知：f（x）在（0，1）上单调递减，（1，4）上单调递增，
又因为f（0）=16，f（1）=10，f（4）=100，
所以f（x）的最大值为100，最小值为1020．
【解析】（1）求出导函数，令导函数在1处的值为0；f（x）在1处的值为10，列出方程组求出a，b的值．
（2）令导函数大于0求出f（x）的单调递增区间；令导函数小于0求出f（x）的单调递减区间．
（3）利用（2）得到f（x）在[0，4]上的单调性，求出f（x）在[0，4]上的最值．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；极值反映的是函数在某一点附近的大小情况才能正确解答此题．