Question

已知A(2

2

，0)，B(0，2

2

)，M(cosα，sinα)，点满足

OA

=λ

OB

+υ

ON

(λ+υ=1)，则|

MN

|的取值范围是（　　）

• A．[1，3]
• B．[1，+∞）
• C．[2，+∞）
• D．(2

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：先根据条件

OA

=λ

OB

+υ

ON

(λ+υ=1)可得A、B、N三点共线，M（cosα，sinα）在圆心在坐标原点，半径为1的圆上
则圆上到直线的距离最近的点即为|

MN

|的最小值，当点N在无穷远处时|

MN

|取无穷大，从而求出所求．

解答：解：∵

OA

=λ

OB

+υ

ON

(λ+υ=1)，
∴

OA

=λ

OB

+（1-λ）

ON

即

OA

-

ON

=λ（

OB

-

ON

）
∴

NA

=λ

NB

即A、B、N三点共线
∵A(2

2

，0)，B(0，2

2

)，
∴点N在直线x+y-2

2

=0上
∵M（cosα，sinα）在圆心在坐标原点，半径为1的圆上
∴圆上到直线的距离最近的点即为|

MN

|的最小值
最小值为

2 2

2

-1=1
当点N在无穷远处时|

MN

|取无穷大
∴|

MN

|≥1
故选B．

点评：本题主要考查了平面向量的基本定理及其意义，以及点到直线的距离，属于中档题．