Question

15．如图，在三棱锥P-ABC中，点D为AB上一点，点E为AC的中点，PA=PB=AB，BC=$\sqrt{2}$PE，∠PED=45°，DE∥平面PBC．
（1）求证：平面PAB⊥平面ABC；
（2）若∠ABC=90°，AB=2，求点D到平面PBE的距离．

Answer 1

分析 （1）证明AB⊥DP，DE⊥PD，利用面面垂直的判定证明平面PAB垂直平面ABC；
（2）利用等体积，求点D到平面PBE的距离．

解答 （1）证明：∵PA=PB，∴AB⊥DP，
∵点E为AC的中点，DE∥平面PBC，BC=$\sqrt{2}$PE，
∴DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PE，
∵∠PED=45°，
∴PD=$\sqrt{P{E}^{2}+\frac{1}{2}P{E}^{2}-2•PE•\frac{\sqrt{2}}{2}PE•\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PE，
∴DE⊥PD，
∵AB∩DE=D，
∴PD⊥平面ABC
又PD?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．
（2）解：设AB=2a，则PD=$\sqrt{3}$a，PE=$\sqrt{6}$a，BC=2$\sqrt{3}$a，AC=4a
∴BE=2a，∴S_△PBE=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}a×\sqrt{4{a}^{2}-\frac{3}{2}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$a，
设点D到平面PBE的距离为h．则$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{2}ah$=$\frac{1}{3}×a×\sqrt{3}a×\sqrt{3}a$，
∴h=$\frac{\sqrt{15}}{6}$a=$\frac{\sqrt{15}}{6}$．

点评 本题以三棱锥为背景考查考查线面垂直、面面垂直的判定以及点D到平面PBE的距离，考查空间想象能力和计算能力．