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    已知数列{an}、{bn}满足：bn=,求证：数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列。

    证明略


    解析:

    ①必要性：

    设{an}成等差数列，公差为d,∵{an}成等差数列

        　　

    从而bn+1－bn=a1+n·d－a1－(n－1) d=d为常数。

        故{bn}是等差数列，公差为d。

    ②充分性:

    设{bn}是等差数列，公差为d′,则bn=(n－1)d′

    ∵bn(1+2+…+n)=a1+2a2+…+nan                                                           ①

    bn－1(1+2+…+n－1)=a1+2a2+…+(n－1)an                                  ②

    ①－②得：nan=bn－1?

    从而得an+1－an=d′为常数，故{an}是等差数列。

    综上所述，数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列。

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    =
    1
    2
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    ann
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    2n+2
        n≥2
    an=
    5
          n=1
    2n+2
        n≥2
    ．

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    2n
    2n
    ．

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