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设数列的前项和为,已知(n∈N*).

(Ⅰ)求数列的通项公式;

(Ⅱ)设,数列的前项和为,若存在整数,使对任意n∈N*且n≥2,都有成立,求的最大值;

(Ⅲ)令,数列的前项和为,求证:当n∈N*且n≥2时,.

(Ⅰ)(Ⅱ)的最大值为18(Ⅲ)证明略


解析:

(Ⅰ)由,得(n≥2).

两式相减,得,即(n≥2).                      (1分)

于是,所以数列是公差为1的等差数列.                        (2分)

,所以.                                                  (3分)

所以,故.                                 (4分)

(Ⅱ)因为,则.       (5分)

,则

.

所以

.

,所以数列为递增数列.                                (7分)

所以当n≥2时,的最小值为.

据题意,,即.又为整数,故的最大值为18.                  (8分)

(Ⅲ)因为,则当n≥2时,

.                                                (9分)

据柯西不等式,有.

于是.      (11分)

又据柯西不等式,有

.

.                                                          (13分)

练习册系列答案
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设数列的前项和为,已知,且

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(Ⅲ)证明:不等式对任何正整数都成立.

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(Ⅰ)设,求数列的通项公式;
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 设数列的前项和为,已知

(Ⅰ)求证:数列为等差数列,并写出关于的表达式;

(Ⅱ)若数列项和为,问满足的最小正整数是多少?

 

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