【题目】已知函数().
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若不等式对任意恒成立.(i)求实数的取值范围;(ii)试比较与的大小,并给出证明(为自然对数的底数, ).
【答案】(1);(2)见解析
【解析】试题分析:(1)一求切点,二求切点处的导数,即切线的斜率;(2)只需求出函数在区间上的最大值即可,利用导数研究单调性,进一步求其最值构造不等式求解;比较大小可将两个值看成函数值,然后利用函数的性质求解.
试题解析:(1)因为时, , ,所以切点为, ,所以时,曲线在点处的切线方程为.
(2)()由,所以,①当时, , ,∴在上单调递增, ,∴不合题意;②当即时, 在上恒成立,∴在上单调递减,有,∴满足题意;③若即时,由,可得,由,可得,∴在上单调递增,在上单调递减,∴,∴不合题意,综上所述,实数的取值范围是.
()时,“比较与的大小”等价于“比较与的大小”,设,( ),则,∴在上单调递增,因为,当时, ,即,所以,当时, ,即,∴,综上所述,当时, ;当时, ;当时, .
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【题目】如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA=PC=5,PB=4,AB=BC=2 ,∠ACB=30°,PA=PC=5,PB=4,AB=BC=2 ,∠ACB=30°.
(1)求证:AC⊥PB;
(2)求三棱锥P﹣ABC的体积.
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【题目】函数的定义域为().
(1)当时,求函数的值域;
(2)若函数在定义域上是减函数,求的取值范围;
(3)求函数在定义域上的最大值及最小值,并求出函数取最值时的值.
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【题目】设函数f(x)=ln(1+|x|)﹣ ,则使得f(x)>f(2x﹣1)成立的取值范围是( )
A.(﹣∞, )∪(1,+∞)?
B.( ,1)
C.(- , )?
D.(﹣∞,﹣ ,)
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点处,极轴与轴的正半轴重合,且长度单位相同;曲线 的方程是,直线的参数方程为(为参数,),设, 直线与曲线交于 两点.
(1)当时,求的长度;
(2)求的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知曲线(为参数),在以原点为极点, 轴的非负半轴为极轴建立的机坐标系中,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;
(2)过点且与直线平行的直线交于两点,求点到两点的距离之积.
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