Question

如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC位于平行四边形ACDE中，AE=2，AC=AA₁=4，∠E=60°，点B为DE中点．
（Ⅰ）求证：平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁．
（Ⅱ）设二面角A₁-BC-A的大小为α，直线AC与平面A₁BC所成的角为β，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）要证明平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁，关键是要在一个平面内找到一条与另外一个平面垂直的直线，我可们以利用已知，证明AB⊥BC，AA₁⊥BC，根据已知条件，我们有两种思路证明线线垂直的办法，进而根据线面垂直的判定定理，得到BC垂直平面A₁ABB₁．再由面面垂直的判定定理得到结论；
（2）由（Ⅰ）可知A₁B⊥BC，AB⊥BC即∠A₁BA为二面角A₁-BC-A的平面角，即∠A₁BA=α，由平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁，且平面A₁BC∩平面A₁ABB₁=A₁B，得AF⊥平面A₁BC，即∠ACD为直线AC与平面A₁BC所成的角，即∠ACD=β．求出α、β的三角函数值后，利用两角和的正弦公式即可得到答案，而求α、β有两种方法：一是构造三角形，解三角形；二是建立空间坐标系，利用空间向量求解．

解答：（Ⅰ）证法一：在平行四边形ACDE中，
∵AE=2，AC=4，∠E=60°，点B为DE中点．
∴∠ABE=60°，∠CBD=30°，从而∠ABC=90°，即AB⊥BC．
又AA₁⊥面ABC，BC?面ABC
∴AA₁⊥BC，而AA₁∩AB=A，
∴BC⊥平面A₁ABB₁．
∵BC?平面A₁BC
∴平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁

证法二：∵AE=2，AC=4，∠E=60°，点B为DE中点．
∴AB=2，BC=2

3

，AB²+BC²=16=AC²，
∴AB⊥BC．
又AA₁⊥面ABC，BC?面ABC，
∴AA₁⊥BC，而AA₁∩AB=A，
∴BC⊥平面A₁ABB₁
∵BC?平面A₁BC，
∴平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁．

（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）可知A₁B⊥BC，AB⊥BC
∴∠A₁BA为二面角A₁-BC-A的平面角，即∠A₁BA=α，
在Rt△A₁AB中，sinα=sin∠A1BA=

AA1

A1B

=

2 5

5

，cosα=

AB

A1B

=

5

5

．
以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示，
其中A₁（0，0，4），B(

3

，1，0)，C（0，4，0），

AC

=(0，4，0)，

A1B

=(

3

，1，-4)，

BC

=(-

3

，3，0)，
设

n

=(x，y，z)为平面A₁BC的一个法向量，则

n • A1B =0 n • BC =0

，∴

3 x+y-4z=0 - 3 x+3y=0

即

x= 3 y z=y

令y=1，得平面A₁BC的一个法向量

n

=(

3

，1，1)，则sinβ=

| AC • n |

| AC || n |

=

4

4× 5

=

5

5

，
又0＜β＜

π

2

，∴cosβ=

1-sin2β

=

2 5

5

，
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=

2 5

5

×

2 5

5

+

5

5

×

5

5

=1，
即sin（α+β）=1．（12分）

方法二：由（Ⅰ）可知A₁B⊥BC，AB⊥BC
∴∠A₁BA为二面角A₁-BC-A的平面角，即∠A₁BA=α，
在Rt△A₁AB中，AB=2，AA1=4，A1B=2

5

，sinα=sin∠A1BA=

AA1

A1B

=

2 5

5

，cosα=

AB

A1B

=

5

5

．
过点A在平面A₁ABB₁内作AF⊥A₁B于F，连接CF，
则由平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁，且平面A₁BC∩平面A₁ABB₁=A₁B，得AF⊥平面A₁BC
∴∠ACF为直线AC与平面A₁BC所成的角，即∠ACF=β．
在Rt△ACF中，AF=

AA1•AB

A1B

=

4 5

5

，sinβ=

AF

AC

=

5

5

，cosβ=

1-sin2β

=

2 5

5

．
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=

2 5

5

×

2 5

5

+

5

5

×

5

5

=1，
即sin（α+β）=1．

点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠A₁BA为二面角A₁-BC-A的平面角，通过解∠A₁BA所在的三角形求得∠A₁BA．其解题过程为：作∠A₁BA→证∠A₁BA是二面角的平面角→计算∠A₁BA，简记为“作、证、算”．